Мини-квест на сегодня: Выжить в 4 синдикатных боях: 0 из 4 (задача выполнена)
Накоплено мини-квестов: 4

А что именно объяснить?
Это ежедневный квест

Я открыл Ящик с инопланетным демоном,у меня накопилось 4 мини квеста, эти мини квесты можно применять к ежедневным качества что бы их выполнить?

Открыл Чертов ящик с демоном.

Выпустив демона - ты выполнил ежедневный квест.

Выжить в 4 синдикатных боях: 0 из 4 (задача выполнена) вот как это понять 0 из 4 и задача выполнена?

Ежедневно в 00:00 на твоей странице https://www.gwars.io/me.php или во вкладке Ваши квесты
Появляется ежедневный миниквест. Чем больше накопить, там больше бонусов даст. За пропуск ежедневного квеста снимается 1 (если не воевать совсем в этот день снимут 2). Ящик с демоном позволяет выполнить текущий миниквест.

7 как понять,что выполнил я ежедневку?

Она пропадает со страницы персонажа

11+
Ну и по надписи: (задача выполнена)