скажите пожалуйста, как узнать через сколько можно основной синдикат выставить?

Раз в 7 дней

Раз в неделю можно основу менять

а как узнать когда неделя кончится?

Ищи в протоколе бывшего синда.

4. Только вспомнить когда меняли основу. Или проверять каждый день.
Других механизмов нет

Можно ещё посмотреть здесь, введя имя персонажа: http://cccp-gw.su/sindmemb/