Через какое время, после того как перс входит в игру, он "появляется" в друзьях,
2-3 минуты?

Сразу, когда выходит висит еще пару мин

Минут несколько требуется.
Я думаю что это связано с сервером, пока он подумает и решит... Точного времени
тебе никто не скажет, оно меняется...

Есть повод проверить экспериментальным путем

4 Тогда нужен доброволец, который в оговоренное время войдёт в игру, а я с
секундомером буду отмерять время.

Это без меня)))
Еду в поезде. Не факт, что в оговоренное время у меня Интернет будет. Вообще
может связь пропасть

Если-бы не мульт, вопрос так и остался бы без ответа.
1 минута 55 секунд прошло с момента появления.