Первый квест был связан с убийствами в синдикатных боях. После смены - стал
квест на нанесение урона в синдикатных боях. Как их выполнить не состоя в
синдикате?

никак, очевидно же.

наемником, или нет?

А за ничейки не катит?

Если заходить в общие захваты, то работает