Они сразу на экипировку вешаются или как предмет нужно после боя поднимать?

Мгновенно

моды после победного боя

На экипировку попадают сразу, в логе боя, последней строкой это будет прописано,
ехать на остров чтобы он сохранился как аутовский лут - не надо. Даже если после
этого следующий бот будет проигран, мод всё равно останется на предмете.

[GanjaWiki : Модификатор]