Если я соберу все документы в первой части кейса, но при этом инвентарь станет
переполнен, то задание не засчитается?

Нет.

Нужно иметь 5 свободных мест в рюкзаке и не умереть по дороге в порт. В
противном случае кейсы окажутся на месте, где ты их подобрала.
Отслеживать задание можно здесь: http://www.gwars.io/questlog.php?id=2195763