Подскажите, есть сроки когда должен быть назначен судья в иске, или он может висеть неограниченное количество времени.

Сроков нет

Регламентированных сроков нет: иск висит, пока его не возьмёт судья. На практике рассмотрение бывает от минуты до недели, сутки ожидания - нормально.

https://www.gwars.io/info.php?id=103329
Тут почитайте