Открываю любой объект на карте острова и выдает сообщение "Вы не можете работать на объекте у противника".

Объекты под контролем моего основного синдиката.

В чем проблема?

двойной агент

Контролирующим в настройках выбран враждебный синдикат

3. Внезапно на всей недвиге в игре?

Владелец объекта из вражеского синдиката.

http://www.gwars.io/syndicate.php?id=1677&page=politics

У вас война наверно с каждым действующим синдом.
Вас только лицензия техника спасет

http://www.gwars.io/object.php?id=56677

вот тут сможешь работать

Видимо, неактуально.