|
Статьи о парадоксах: "Движенья нет!"
Вернуться к списку статей о парадоксах
Читатель, должно быть, помнит курьезный эпизод из романа Сервантеса
"Дон-Кихот". Не успел Санчо Панса освоиться со своим губернаторским
положением, как ему учинили хитроумное испытание.
Некое поместье делится на две половины многоводною рекою. Через реку
переброшен мост, а поблизости зловеще возвышается виселица. Закон гласит: "Всяк
проходящий по мосту через сию реку долженствует объявить под присягою, куда и
зачем он идет; кто скажет правду, тех пропускать беспрепятственно, а кто солжет,
тех без всякого снисхождения казнить через повешение".
И надо же было так случиться, что однажды некий человек, приведенный к
присяге, заявил: он-де клянется, что пришел сюда, дабы его... вздернули на эту
вот самую виселицу и ни за чем другим. Стоило видеть недоумение судей! В самом
деле, если позволить чудаку-незнакомцу следовать дальше, то это будет означать,
что он нарушил присягу и согласно закону подлежит казни. С другой стороны, как
его повесить? Ведь он клялся, будто только затем и пришел, чтобы его повесили, -
стало быть, присяга его не ложна, и на основании этого же самого закона надлежит
пропустить его неприкосновенным.
Бедняга Санчо не мог похвастать мудростью библейского царя Соломона. Однако
он безропотно взялся за нелегкое дело и ничто же сумняшеся рассудил так: "Ту
половину человека, которая сказала правду, пусть пропустят, а ту, что соврала,
пусть повесят". "Но, сеньор губернатор, - возразил ошеломленный оппонент, -
если разрезать человека на части, то он непременно умрет, и тогда ни та, ни
другая статья закона не будет исполнена. Между тем закон требует, чтобы его
соблюли во всей полноте!". Сеньор губернатор, окончательно поставленный в
тупик, по доброте душевной, посоветовал просто-напросто отпустить странного
просителя на все четыре стороны.
Итак, закон был нарушен. Но что мог поделать добрый простак Санчо, который
не умел даже расписаться под своим решением? Ну, а мы, читатели Сервантеса,
находясь во всеоружии логики и математики, можем ли мы спустя 400 лет справиться
с подобными головоломками? Чтобы разобраться в этом вопросе, нам придется
заглянуть в удивительный мир парадоксов, побывать по ту сторону здравого
смысла.
Парадоксы известны с незапамятных времен. Знаменитому критскому философу
Эпимениду, жившему в VI веке до нашей эры, приписывается довольно нелестный
отзыв о своих соотечественниках: "Все критяне - лжецы". Только вот беда: сам
Эпименид тоже критянин! Получается, что если Эпименид говорит правду, то он
лжец, значит, он возводит напраслину на своих земляков и на себя самого, то есть
говорит неправду. Как же все-таки: ложно или истинно высказывание, порочащее
обитателей острова - колыбели человеческой культуры?
Парадокс Эпименида, известный иначе как "парадокс лжеца", встречается еще
и в менее афористической, зато более сильной форме: "я лгу", или
"высказывание, которое я сейчас произношу, ложно". Стоящее в кавычках
выражение, очевидно, не может быть без противоречия ни истинным, ни ложным. Этот
вариант парадокса принадлежит Эвбулиду (IV век до н. э.).
В 1913 году английский математик Джордан добавил в копилку парадоксов такой
На одной стороне карточки начертано: "Утверждение на обороте этой карточки
истинно." Что же это за утверждение? Перевернув карточку, вы читаете:
"Утверждение на обороте этой карточки ложно." Вот и поди разберись, что к
чему. Если верить первому сообщению, то второе правильно. Но ежели правильно
второе, то неверно первое! И наоборот.
В античной "дилемме крокодила" ситуация столь же трагикомична и нелепа,
что и у Сервантеса. Крокодил похищает ребенка. Чудовище обещает родителям
вернуть дитя, если отец угадает, отдаст ему крокодил ребенка или нет. Что делать
бедному чудовищу, если отец вдруг скажет, что крокодил не возвратит ему
ребенка?
Мы часто прибегаем в спорах к услугам аргумента "нет правил без
исключений", забывая, что это выражение само есть правило и выходит, тоже
должно иметь исключения. Парадокс? Несомненно! И он возник потому, что санкции,
декларируемые законом, мы применили к самому закону. Так что будьте осторожны с
подобными аргументами: они чреваты логическими подвохами!
Любопытен изящный логический парадокс, сформулированный в 1908 году немецким
математиком Куртом Греллингом. Чтобы войти в курс дела разберем определение
автологичного (самоприменимого) имени прилагательного. Большинство
прилагательных не обладает качеством, которое оно обозначает. Скажем, слово
"красный" само по себе не имеет красного цвета, слово "ароматный" не пахнет.
Зато прилагательное "русский" - действительно русское, "трехсложный" -
трехсложно, "абстрактный" - абстрактно и т.д. Каждое из этих прилагательных,
по терминологии Греллинга, автологично то есть имеет силу применительно к самому
себе, обладая тем же качеством, которым оно наделяет другие понятия. Иное дело -
гетерологичные, то есть несамоприменимые прилагательные. Скажем слово
"трехсложная" - само по себе вовсе не трехсложно, "бесконечный" имеет
конечные размеры, "конкретный" - по смыслу абстрактно. Парадокс Греллинга
возникает из вопроса: к какому классу отнести прилагательное
"несамоприменимый"? Самоприменимо оно или же нет? Допустим, что прилагательное
"несамоприменимый" несамоприменимо. Тогда оно (согласно приведенному
определению Греллинга) самоприменимо! А раз оно самоприменимо, то на каком же
основании оно названо нами несамоприменимым?!
Вот еще один логический сюрприз. Рассмотрим выражение:
"Наименьшее натуральное число, которое нельзя определить посредством меньше чем
тридцати шести слогов". Между тем только что написанное предложение при помощи
тридцати пяти слогов (посчитайте и убедитесь сами!) определяет не что иное, как
число, которое, по определению, нельзя определить меньше чем набором из тридцати
шести слогов!
Подобными несуразицами изобилует история логики. Читатель может испробовать
свои силы, пытаясь выбраться из перечисленных смысловых лабиринтов. (С тех пор
как возникла эта проблема, не было найдено ни одного решения, с которым бы
безоговорочно согласились ученые.) Впрочем, правильно ли сказано: "смысловых
лабиринтов"? У каждого лабиринта, каким бы запутанным он ни был, есть выход. И
если посетители знаменитого Критского лабиринта чересчур долго блуждали по
хитросплетениям его ходов, неизменно попадая в лапы Минотавра, то виноваты в
этом были они сами. Отмечай люди простейшими приемами путь, то, даже не обладая
развитой способностью ориентироваться, они получили бы не менее надежное
средство спасения, чем пресловутая нить Ариадны. Иными словами, в подобных
случаях нас подводит лишь пренебрежение законами логики и геометрии. Другое дело
парадоксы. Их формулировки настолько просты, настолько прозрачны, что и
блуждать-то, собственно, негде: нет лабиринта как такового! Но сколь бы
изощренны ни были наши познания в области логики и математики, никакой, даже
самый отточенный, меч разума не в силах разрубить этот логический гордиев
узел...
И еще одно уточнение. Под парадоксом обычно понимают нечто противоречащее
нашей интуиции, нашему повседневному опыту, нашим непосредственным ощущениям.
Парадоксальным в этом смысле казалось откровение астрономов-гелиоцентристов: не
Солнце вращается вокруг Земли, а Земля вокруг Солнца. Но как бы ни бунтовала
наша интуиция, логика научного мышления неумолимо подводит нас к такому
заключению. Между тем существуют парадоксы иного рода. Используя тот же
логический аппарат, те же приемы рассуждения - а ведь они шлифовались
тысячелетиями и на них основаны все наши знания! - мы неизбежно приходим к
неразрешимому противоречию. Значит, речь идет о несовершенстве, об изъянах,
глубоко коренящихся в самой логической системе нашего мышления.
Правда, у читателя может возникнуть вопрос: кому нужна вся эта казуистика?
Да и нужна ли она вообще?
Приведенные смысловые нелепости не просто забавные трюки логики. Не раз
парадоксы были связаны с перестройкой основ мышления.
Особенно поучительна эпопея знаменитых апорий (парадоксов) Зенона, которые
двадцать пять столетий назад оказались самой настоящей сенсацией. Впрочем, не
просто сенсацией, которая ненадолго травмирует психику обывателя, а потом
бесследно улетучивается из головы. Они оказали заметное влияние на прогресс
математики, И до сих пор не сходят со страниц серьезнейших математических,
логических, философских работ, где ученые ломают копья и головы: преодолены или
нет трудности, порожденные этими ужасными апориями?
...Кто из читавших гомеровскую "Илиаду" не помнит сцену погони грозного
Ахилла за "шлемоблещущим", но порядком струхнувшим Гектором? Сильный бежал
впереди, но преследовал много сильнейший... Правда, гонка вокруг Трои все-таки
закончилась поражением Гектора. Но не в беге! В смертельной схватке. А перед
поединком Ахиллу пришлось остановиться, так и не догнав врага. Что ж, супостат
был ловок и быстроног. А если бы он был неуклюж и тихоходен?
Да, грациозен и быстроног могучий Ахилл, сын Пелея, герой Троянской войны,
воспетый Гомером. И как неуклюжа, как тихоходна черепаха, повсюду слывущая
эталоном медлительности и нерасторопности! Ей ли тягаться в скорости с
легендарным бегуном? А вот античный мудрец Зенон считал, что Ахиллу ни за что не
догнать черепаху. Убеждение философа основывалось на том, что когда преследующий
достигнет места, где находился преследуемый в момент старта, догоняемый бегун
продвинется, хотя и немного, дальше. Значит, на новом небольшом участочке пути
Ахиллу снова придется догонять черепаху. Но пока преследователь добежит до этого
второго пункта, беглянка снова переместится вперед. И так далее до
бесконечности. Если же это будет длиться без конца и края, то как Ахиллу удастся
обогнать черепаху?
С другой стороны, из собственного повседневного опыта каждый школьник знает,
что он, отнюдь не будучи Ахиллом, способен запросто обогнать не только черепаху,
но, чего доброго, и самого учителя - стоит только прозвучать звонку,
возвещающему конец урока.
А нет ли "ахиллесовой пяты" у самих рассуждении Зенона?
В классическом курсе логики, написанном Минто, прославленный бегун легко
опережает свою недостойную соперницу, хотя дает ей фору не только в расстоянии -
100 саженей (здесь употреблены старинные русские, а не древнегреческие меры
длины, однако это не имеет значения), но и в скорости: он двигается не в полную
силу - всего в десять раз резвее черепахи. То есть, по существу, шагает себе не
торопясь, уверенный в победе. Правда, добравшись до места, откуда тронулась в
путь-дорогу нерасторопная ставленница Зенона, Пелеев сын увидит, что та успела
переползти еще на 10 саженей вперед. Пока Ахилл преодолеет эти 10 саженей,
черепаха уйдет еще на сажень. Что ж, быстроногому ничего не стоит покрыть
какую-то там сажень. А неуклюжая тем временем переместится - пусть на одну
десятую сажени, но все-таки вперед, прочь от преследователя! С каждым шагом
расстояние сокращается. Таких шагов будет, очевидно, бесчисленное мно-жество. Не
беда: современная математика научилась суммировать бесконечные
последовательности. И Минто строит бесконечный ряд: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 +
0,001 + ... Перед нами убывающая геометрическая прогрессия. Ее сумму запросто
подсчитает любой теперешний школьник, если, конечно, он уже прошел алгебру по
учебнику, кажется, для восьмого класса; эта сумма равна 111 1/9. Проделав
нехитрый подсчет, Минто заключает: "Софист хочет доказать, что Ахилл никогда не
догонит черепаху, а на самом деле доказывает лишь то, что Ахилл перегоняет ее
между 111-й и 112-й саженями на их пути".
Вроде бы правильно. Вроде бы логично. Увы, торжествующий опровергатель не
ответил посрамленному софисту, ибо вопрос ставился иначе: не когда, а как
возможна подобная встреча...
Пусть читатель сам рассудит античного мудреца и его оппонента. Чтобы
получить в ответе 111 1/9 сажени, вовсе не обязательно прибегать к суммированию
бесконечного ряда. Можно решить задачу обычным алгебраическим путем, приняв за
неизвестное путь, который проползет до момента "рандеву" пресмыкающаяся
красавица, кокетливо убегающая от своего самоуверенного преследователя.
Уж коли у нас объявилось неизвестное, быть ему иксом - х. Тогда путь,
промаршированный Ахиллом, окажется больше дистанции, разделявшей бегунов во
время старта, на отрезок, покрытый черепахой до встречи с Ахиллом: 100 + x.
Теперь вникните: время движения от старта до встречи у обоих бегунов одно и то
же. А скорость у Ахилла в десять раз выше. Значит, путь, проделанный Ахиллом,
будет тоже в десять раз больше, чем черепаший (х). Составляем уравнение: (100 +
х) : х = 10. Подсчитайте: х=11 1/9. Столько саженей проползла черепаха? А Ахилл?
100+x=111 1/9
Трудно поверить, чтобы Зенон не сумел найти искомый отрезок пути подобными
элементарными средствами. Еще труднее представить, что Зенон никогда никого не
перегонял или не видел, как это делают другие. Нет, не зря античный мыслитель
формулирует задачу так, что в ней появляется понятие о бесконечном ряде! Его не
мучает сомнение: может ли тело проделать путь, составленный из кусочков?
Мыслитель смущен другим: как возможен последовательный синтез бесчисленного
множества отрезков, если он будет длиться вечно, так и не достигнув предела?
Не достигнув? А точка, отстоящая от старта на 111 1/9 сажени, - не есть ли
это тот самый предел? Есть. Тот самый! Но разве вопрос сводился к тому, каков
он? Нет! К тому, как переменная (в данном случае сумма ряда) достигает своего
предела. И достигает ли вообще? Мы назвали сумму переменной величиной. Так оно и
есть. Вспомните ряд, составленный Минто: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001.
Покуда он содержит шесть членов. Их сумма равна 111,111. Это число меньше, чем
111 1/9. Правда, чуть-чуть, но все-таки меньше! Разница станет еще меньше, если
мы присовокупим к последовательности еще один член, седьмой: 100 + 10 + 1 + 0,01
+ 0,01 + 0,001 + 0,0001. Сумма изменилась, теперь она равна 111,1111. Семь
членов - семь знаков в числе - единичек, заметили? Если членов будет восемь,
сумма опять удлинится на единичку: 111,11111. И так далее. Но возьмете ли вы
сто, тысячу, миллиард миллиардов членов, все равно ваше число с колоссальным по
длине хвостом из единиц будет меньше 111 1/9. Сумма изменяется, растет, но не
достигает предела. И все-таки мы умеем подсчитать предел, к которому она
стремится. Делается это так. Берется формула для суммы конечного (подчеркиваем:
не бесконечного!) количества членов. Она легко выводится - загляните в школьный
учебник алгебры. Давайте подставим в нее характеристики нашей геометрической
прогрессии. Первый член у нас 100. А знаменатель прогрессии - одна десятая (0,1)
- ведь у нас каждый следующий член меньше предыдущего в десять раз. Предположим,
мы хотим подсчитать сумму для 777 членов. Получим: 100/(1-0,1)*[1-(0,1)^777+1]
Нетрудно видеть, что число перед квадратными скобками равно 111 1/9. А
содержимое квадратных скобок? Чуть меньше единицы. И оно будет тем ближе к
единице, чем больше показатель степени у дроби 0,1, заключенной в круглые
скобки. Но приглядитесь к показателю степени - это же число членов ряда плюс
единичка! А теперь начинается самое интересное. Мы переходим от конечного числа
членов к бесконечному. Показатель степени при (0,1) неограниченно возрастает.
Что же происходит с самой степенью - с одной десятой, умноженной на себя столь
многократно, что и вообразить невозможно? Она становится бесконечно малой
величиной, стремящейся к нулю. А раз так, то, как написано в вашем учебнике, мы
вправе ее попросту отбросить, приравняв к нулю. В квадратных скобках остается
единица. Стало быть, искомый предел равен 111 1/9. Но послушаем, что говорит по
этому поводу математика (устами академика А. А. Маркова): "Важно заметить, что
к совокупности значений бесконечно малой мы не причисляем её предела 0". А
французский математик Мансион выражается еще недвусмысленней: "Пределом
переменной мы называем постоянную величину, к которой переменная неопределенно
приближается, никогда ее не достигая". Но то же самое говорил и Зенон, облекая
разве что абстрактные математические символы в яркие образы, навеянные
прекрасными античными мифами! Как бы далеко мы ни шли в последовательной
интеграции укорачивающихся "движеньиц" Ахилла, мы никогда не получим целиком
его пути до встречи с черепахой! Как сказано у Гомера ("Иллиада" в переводе
Гнедича):
"Сей убежать, а другой уловить пытается тщетно,
Так и герои: не тот не догонит, ни сей не уходит..."
Подмеченные Зеноном трудности в строгости истолкования понятий "предел" и
"непрерывность" можно проиллюстрировать на более простом примере. Представьте:
у вас в комнате по полу ползет черепаха. И вдруг - Стоп! - животное уперлось
носом в стенку. Путь черепахи - переменная величина, растущая до какого-то
предела. Предел - стена. Вернее, точка, ограничивающая траекторию черепахи. Но
эта точка не принадлежит к бесконечному множеству точек территории! Мало того: у
черепашьего пути вообще невозможно определить последнюю точку - ту, где
обретается черепаший нос в момент удара, ту, что предшествует предельной - точке
стены. Здесь мы ненароком коснулись другой апории Зенона. Если первая в истории
математики фигурирует под названием "Ахилл", то второй присвоено имя
"Дихотомия". Это древнегреческое слово переводится так: "бесконечное деление
пополам". Прежде чем завершить весь путь, черепаха должна пройти его половину,
говорил Зенон. Но прежде чем она достигнет середины пути, ей предстоит добраться
до метки, рассекающей ладное эту половину. Однако прежде чем оставить за собой
четверть пути, нужно пройти его "осьмушку"... Уф! Так можно продолжать до
бесконечности. Короче, Зенон делал вывод: движение никогда не начнется!
Геометрически парадокс можно истолковать так. Мы берем отрезок и делим его
напополам. Левую половину опять рассекаем надвое. Левую четвертушку - тоже
надвое. Затем левую осьмушку, шестнадцатую долю, одну тридцать вторую и так
далее - без конца. Не напоминает ли это погоню Ахилла за черепахой или
путешествие черепахи по комнатному тупику? Только сейчас роль стены выполняет
черепаший нос. Его кончик - точка покоя. А где начинается первая по счету точка
движения? Ведь мы не в силах найти точку, непосредственно следующую за границей
отрезка, - точно так же, как и могли определить точку, непосредственно
предшествовавшую предельной в примере с черепахой, натолкнувшейся на
препятствие!
Ошибка Зенона, по словам профессора С. А. Богомолова, заключается в том, что
из невозможности вообразить начало движения древний философ заключил о
невозможности самого движения и достоверного знания о нем. Она вполне
объясняется уровнем математических знаний его эпохи и не уменьшает его заслуг. В
"Дихотомии" Зенон указал на трудности постигнуть понятия "континуум"
(непрерывная последовательность всех точек линии) и "движение". Но математики
давно уже привыкли к тому, что рассудок справляется с вопросами, перед которыми
бессильна интуиция. И тем не менее мы должны все-таки признать, что в
"Дихотомии" есть некоторый неразрешимый остаток. Речь идет о бесконечном ряде,
не имеющем начала. Это все та же диалектика бесконечности, которая обретает
особую остроту применительно к последовательности моментов времени.
Следующий наш перевал - "Стрела", третья апория. Третья по счету, но не по
важности. Нас ждет парадокс, который слывет, по выражению профессора А. А.
Богомолова, "апофеозом зеноновской диалектики".
"Движенья нет, сказал мудрец брадатый..."
Это Пушкин цитирует Зенона. И продолжает:
"...Другой смолчал и стал пред ним ходить.
Сильнее бы не мог он возразить.
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей!"
Пушкина цитирует писатель Даниил Данин в своей книге "Неизбежность
странного мира". И продолжает: "Зенон вопрошал: - Вот летит стрела, в каждый
момент ее можно где-то застигнуть, там она в это мгновенье покоится, откуда же
берется движение? Значит, движение - череда состояний покоя? Не абсурд ли это?
Рассуждение было безупречно. Но и доказательство Диогена, который начал
ходить, тоже было неопровержимо. Мог ли отыскаться выход из этого очевидного
противоречия - движение слагается из моментов покоя? Выход должен был отыскаться
и отыскался.
Для этого математика и механика должны были научиться оперировать с
бесконечно малыми величинами. Они должны были научиться рассматривать состояние
покоя как нулевой предел исчезающе малого перемещения. Это делает
дифференциальное исчисление. И должны были научиться складывать такие нули, не
удивляясь, что бесконечное - прибавление бесконечно малых движеньиц может дать
вполне реальный конечный отрезок пути. Это делает исчисление интегральное. В
рассуждении Зенона была заметная логическая погрешность. Он разлагал перемещение
стрелы на бесконечное множество состояний покоя, а складывал их по
арифметической логике конечных сумм: если взять столько-то нулей, все равно
получится нуль. И потому сказал: "Движения нет". А все дело в том, что как ни
велико арифметическое "сколько-то", оно еще не бесконечность. Диоген только
молча и мог опровергнуть Зенона - словами у него ничего бы не вышло, потому что
не было тогда нужных для этого слов".
Что ж, это, пожалуй, верно, что у Диогена не нашлось бы нужных слов, дабы
возразить - правда, не самому Зенону, а одному из его последователей (Зенон умер
за сто с лишним лет до появления Диогена на свет). Ну, а сегодня? Что это за
магические слова, каковыми-де можно парировать выпады Зенона? Очевидно,
дифференциальное и интегральное исчисления, не так ли? Что ж, давайте попробуем
урезонить античного смутьяна самыми могущественными аргументами математического
анализа.
Лук звенит, стрела трепещет,
И, клубясь, издох Пифон...
И твой лик победой блещет,
Бельведерский Аполлон!
Сценка убийства, нарисованная Пушкиным, графически изображается
баллистической кривой, а в идеале (если не учитывать сопротивления воздуха) -
параболой, по которой перемещается стрела от тетивы до мишени. Координаты такие:
высота подъема (вертикальная ось) и время полета (ось горизонтальная). Сейчас мы
займемся дифференцированием. Как подсчитать скорость? Ясное дело как: списал
километраж со спидометра и поделил на время, за которое машина проделала путь.
Верно. Только так мы найдем среднюю скорость. А она наверняка менялась! Сперва
автомобиль стоял - скорость была равна нулю. Потом тронулся - скорость стала
нарастать, превысила дозволенный рубеж; тут раздался свисток милиционера,
пришлось дать тормоз - скорость резко пошла на убыль, пока машина снова не стала
как вкопанная. Если же посчитать среднюю скорость, то выяснится, что вас и
штрафовать-то не за что! Однако постового не проведешь. Он, может, и не знает
дифференциального исчисления, но уж в нарушениях кое-что смыслит. Как же
все-таки нам определить точное значение скорости в любой момент времени?
Давайте вернемся к стреле: ее скорость описывается более простым
математическим выражением. Только тут все наоборот: в момент старта с тетивы
скорость стрелы (речь идет о скорости ее подъема) максимальна. В наивысшей точке
трассы она равна нулю. В момент убийства Пифона снова достигает наибольшего
значения. В любой момент она иная, чем раньше. Тем не менее мы можем уловить
закономерность, с какой она изменяется от точки к точке.
Представьте, что полет стрелы, пущенной лучезарным богом в отвратительное
чудище, отснят на кинопленку. И мы останови-ли демонстрацию фильма где-то
посредине, выхватив любой кадр. К этому моменту стрела (лучше говорить об одной
из ее точек, скажем, центре тяжести) поднялась на определенную высоту. Включим
лентопротяжный механизм снова, но ровно настолько, чтобы перед нашими глазами
застыл следующий кадр. Центр тяжести продлив свою трассу на крохотный кусочек,
окажется в новой точке где высота подъема увеличилась. Обозначим это приращение
высоты так "дельта эс". А заодно символом "дельта тэ" обозначим временной
интервал между соседними , кадрами. Тогда средняя скорость подъема на этом
участочке пути выразится нехитрой дробью дельта s/дельта t. Обратили внимание -
скорость-то у нас опять средняя! Да, но чем меньше "дельта тэ", тем ближе
значение нашей дроби к истинной скорости в первой точке. Если бы затвор
киноаппарата при съемке щелкал бы в тысячу раз чаще то промежуток времени между
двумя соседними кадрами сократился бы тоже ровно в тысячу раз. Значение
"моментальной" скорости стало бы точнее. И все же до тех пор, покуда наша
доль-ка временной оси будет конечной (не бесконечно малой) величиной, отношение
"дельта эс" к "дельта тэ" дает лишь среднюю скорость между двумя моментами.
А что, если сделать "дельта тэ" бесконечно малым? Иными словами, представив
вторую точку трассы подвижной, теснить и теснить ее к жестко сидящей первой
точке? Тогда "дельта тэ" устремится к нулю. "Дельта эс" тоже. А их
отношение? Оно станет все точнее и точнее передавать значение скорости стрелы в
момент времени, запечатленный на первом кадре. Но лишь в пределе она окажется
мгновенной скоростью в тот самый момент. Этот предел отношения при дельта t,
стремящемся к нулю, изображается двухэтажным знаком "дэ эс по дэ тэ" и
называется производной функцией (в нашем случае производной от пути по времени).
(ds и dt называются дифференциалами (от латинского слова "разница").
Приведенное построение можно повторить применительно к любой точке нашей
кривой. Впрочем, не обязательно только нашей, а вообще любой кривой. Конечно,
вид производной будет неодинаковым для разных кривых, не говоря уже о том, что
ее значение меняется от точки к точке у каждой кривой. Но теперь мы знаем закон
поведения производной: она меняется так же, как и угол наклона касательной к
кривой в данной точке. И геометрический смысл произведений - тангенс этого угла.
Ведь что такое наши "дельта эс" и "дельта тэ", как не катеты прямоугольного
треугольника! Треугольник построен на гипотенузе с теми самыми краевыми точками,
которые отмечали положение центра тяжести стрелы на обоих кадрах. Когда же мы
начали сдвигать эти соседние точки, гипотенуза слилась с касательной.
Так вот: отыскав производную, мы продифференцировали функцию - в нашем
случае уравнение параболы. Зная производную, мы можем найти и первоначальную
(первообразную) функцию, то есть проделать обратную операцию - интегрирование.
Приемы дифференцирования и интегрирования едва ли сложнее алгебраических правил.
Но нас сейчас волнует не это. Какой смысл таится в дроби ds/dt? Здесь и
числитель и знаменатель вроде бы... нули! Но ведь отношение нулей - абсурд!
Чтобы разобраться в парадоксе, придется снова совершить экскурс в прошлое и
ответить на вопрос: а сумел ли Ньютон отразить "стрелу", пущенную Зеноном? Не
постигла ли его детище - анализ бесконечно малых - злая участь Пифона, убиенного
Аполлоном Бельведерским?
...24 августа 1624 года в Париже должен был состояться публичный диспут. Но
перед самым открытием дискуссии один из ее устроителей, де Клав, был арестован.
Другому, Виллону, пришлось скрыться. Специально изданный парламентский указ
гласил: запретить полемику; в торжественной обстановке перед лицом собравшихся
разорвать в клочья заранее объявленные тезисы; всех организаторов выслать в 24
часа за пределы города, лишив их права вообще въезжать в столичный округ;
строго-настрого запретить профессорам любое упоминание крамольных тезисов в
лекциях.
Всяк, кто устно или печатно нарушит сей рескрипт, подлежит смертной казни...
Четырнадцатый тезис разорванной программы диспута провозглашал атомистическую
доктрину. В нем черным по белому значилось, что Аристотель, то ли по невежеству,
то ли по злому умыслу, высмеял учение, согласно которому мир состоит из атомов.
Между тем-де это мировоззрение как нельзя лучше соответствует разумным основам
подлинной натурфилософии...
Но при чем тут Зенон? Речь-то шла об идеях Демокрита!
Атомистика Демокрита была реакцией на выпады элейской школы, во главе
которой стоял Зенон. Интересно и важно: Демокрит был апостолом атомизма не
только в физике, но и в математике. Причем обосновывал необходимость
атомистического миросозерцания ссылкой не на физические явления, отнюдь, а на
чисто математические затруднения, возникающие в том случае, если считать
пространство непрерывным. В дозеноновском естествознании все тела считались
беспредельно делимыми. Это с одной стороны. А с другой - допускалось, что каждый
предмет состоит из бесчисленного множества непротяженных и далее неделимых
"телец". На эти-то противоречивые принципы и обрушился Зенон.
Если тело делимо беспредельно, говорил он, то оно должно быть бесконечно
большим. Как бы далеко ни заходило дробление, всякий раз будут получаться
протяженные частицы, размеры коих никогда не обратятся в нуль. Поскольку же
деление бесконечно, постольку и геометрических "атомов" будет бесчисленное
множество! А если так, то сумма бесконечно большого количества протяженных и
далее неделимых элементов окажется неизмеримо огромной. Если же, наоборот, точка
как предел деления не имеет размеров, то сложение любого, сколь угодно большого
количества таких "нулей" никогда не даст протяженного тела!
Логическая диверсия Зенона произвела ошеломляющее впечатление. Ученые
всполошились; всем стало ясно, что теоретические основы геометрии продуманы
недостаточно глубоко, внутренне противоречивы и несостоятельны.
Вот тогда-то, среди обломков, оставшихся после разрушительной деятельности
элеатов, школа Демокрита и принялась восстанавливать теоретически фундамент
геометрии. Приклеив единомышленникам Зенопа ярлык "афизиков" ("лжеученых"),
она попросту отмахнулась от их дьявольских искушений. Предел делимости материи и
пространства был провозглашен сызнова. Так в ответ на сугубо негативную элейскую
критику появилась позитивная платформа, на которой можно было - худо ли, бедно
ли - дальше возводить храм математики и механики. Но тут Аристотель взял и
торпедировал эту конструктивную платформу! Что ж, он был по-своему прав: ведь
противоречия, подмеченные Зеноном, делали позиции Демокрита очень и очень
шаткими...
Более Полутора десятков столетий довлели над наукой аристотелевские идеи.
Лишь в эпоху позднего Возрождения ученые возвысили свой голос против
схоластических догм. Даже невзирая на то, что, посулив особо рьяным критиканам
смертную казнь, французский парламент тем самым приравнял авторитет Платона и
его ученика Аристотеля к авторитету евангелия... Идея непрерывности,
противоречившая повседневной интуиции, была отринута мыслителями эпохи
Возрождения. В своих "Беседах и математических доказательствах, касающихся двух
новых отраслей науки", Галилей рассуждает о бесконечно малых промежутках между
отдельными бесконечно малыми участками прямой. Из письма Кавальери к Галилею
явствует, что оба они, как, впрочем, и Кеплер, контрабандой вынашивали идею
"неделимого". А взгляды Кеплера и Кавальери, предтеч Ньютона в создании новой
математики, - чистейшей воды геометрический атомизм!
"Непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом
древности и нынешним дифференциальным и интегральным исчислением не подлежит
сомнению, - говорит профессор С. Я. Лурье в книге "Теория бесконечно малых у
древних атомистов". - Историю метода бесконечно малых следует начинать не с
Кавальери, а с Демокрита".
Итак, исчисление бесконечно малых было построено на атомистическом
фундаменте. Но тогда, выходит, парадоксы Зенона остались непреодоленными?
Вспомните наше недоумение с дифференциалами: что это - нули или не нули? Какой
смысл таится в дроби, где и числитель и знаменатель одновременно стремятся к
нулю? Этот вопрос глубоко волновал другого создателя анализа - Лейбница,
немецкого коллегу Ньютона. Обозначение ds/dt, введенное Лейбницем,
рассматривалось как отношение бесконечно малых величин - дифференциалов (ds и
dt. Эта символика до сих пор смущает любого из нас, когда мы принимаемся
штудировать дифференциальное исчисление. Из выражения: предел дельта s/дельта t
= ds/dt, стремящемся к нулю, - невольно напрашивается вывод, будто "дельта тэ"
стремится сразу к двум пределам: к dt, отнюдь не равному нулю, и в то же время к
нулю, а "дельта эс" к ds и к нулю! А все потому, что перед нами "ископаемые
останки" атомистической эпохи в математике. Стоит допустить, что кривая
составлена из мельчайших "атомов", как пределом для приращения "дельта эс"
или "дельта тэ" будет уже не Нуль, то есть ничто, а высота или ширина этой
неделимой геометрической крупицы: ds или соответственно dt. Теперь, с позиций
Лейбница, безо всяких ухищрений легко поддается уразумению и равенство: предел
дельтаS/дельтаt=dS/dt. Ибо при атомистичесском подходе предел дельта s равен ds,
а предел дельтаt равен dt. Вот именно: при атомистическом. При том самом,
который в пух и прах был разнесен еще Зеноном. При том самом, от которого
давным-давно уже ушла матемачика. Ну, а сегодня, когда математика вновь стоит на
позициях непрерывности, тоже кстати зело подорванных Зеноном? Дают ли о себе
знать коварные аргументы элеатов?
Откройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса "Что такое математика".
Там сказано: дифференциалы как бесконечно малые величины из математического
обихода изгнаны окончательно и не без позора. И все же сам термин
"дифференциал" прокрался обратно через черный ход. Он как ни в чем не бывало
по-прежнему фигурирует в обозначениях, сохранившихся до сего времени и сбивающих
с толку ds/dt.
Правда, сегодня в dt математики видят небесконечно малую величину, а
конечное приращение "дельта тэ". Что же касается ds/dt, то эта "дробь" в
целом стала просто символом результата, который получается при переходе к
пределу: действительно, прежде чем переходить к пределу, можно избавиться от
будущего "нуля" в знаменателе. Для этого числитель дроби ds/dt раскрывают;
ведь за этим символом стоит обычная алгебраическая разность. Разность между
двумя выражениями одного и того же математического закона, но для двух разных
точек кривой. В формула разности появляется сомножитель "дельта тэ". Тот же
самый, что стоит в знаменателе! А раз так, то и числитель и знаменатель можно
сократить на "дельта тэ". Ведь это не возбраняется до тех пор, пока "дельта
тэ" не равно нулю. Так "дельта тэ" исчезает из знаменателя. Правда, в формуле
для числителя после сокращения остается еще одно "дельта тэ". Но потом, когда
мы переходим к пределу, это второе "дельта тэ" обращается в нуль. Так - сложно
ли, просто ли - но для каждой функции удается ловким маневром миновать
нелепость: ds/dt=0/0. Конечно, Ньютон и Лейбниц тоже умели находить интегралы и
производные такими способами. Но они не признавали за предельной процедурой
исключительного права служить опорой новых методов. Они рассуждали примерно так:
да, интеграл и производную можно вычислить как пределы. Но чем же, черт побери,
являются эти понятия сами по себе?
Вот, к примеру, наклон кривой. Он существует сам по себе, независимо от
хитроумного геометрического построения, сопровождавшегося предельным переходом.
То же самое можно сказать и об интеграле, который истолковывается как площадь
плоской фигуры, ограниченной осями координат и нашей кривой: мол, такое понятие,
как площадь, имеет некий абсолютный "смысл в себе", и вроде бы нет надобности
привлекать вспомогательные операции с пределами.
Иначе рассуждают современные математики.
"Ни Ньютон, ни Лейбниц, - говорится в книге Р. Куранта и Г. Роббинса, - не
смогли занять ту отчетливую позицию, которая нам кажется простой и естественной
теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше
столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными
рассуждениями о "бесконечно малых величинах", о "дифференциалах" и т. д.
Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим
настоящим математическим чутьем, и что анализ поэтому, по существу, очень
труден, так как не всякий обладает этим чутьем или может его развить. Интеграл,
аналогичным образом, рассматривался как сумма "бесконечно большого числа
бесконечно малых слагаемых". Существовало представление, будто такая сумма есть
интеграл, или площадь, в то время как вычисление ее значения как предела
последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых рассматривалось как
некий придаток. Теперь мы попросту отбрасываем желание "непосредственно"
объяснить интеграл и определяем его как предел последовательности конечных сумм.
Этим путем все трудности и устраняются, и все, что ценно в анализе, приобретает
твердую основу".
Твердую основу? Но прежде чем ответить, давайте подведем итог: ни Ньютон, ни
Лейбниц не парировали выпадов Зенона. Они просто отмахнулись от них. Не поступи
они именно так, быть мо-жет, еще больше отсрочилось бы открытие
дифференциального и интегрального исчисления, этого мощнейшего инструмента
расчетов в современной науке и технике. Так или иначе, сколь бы ни были велики
заслуги творцов математического анализа, противоречия, подмеченные Зеноном,
остались неразрешенными. Ньютон и Лейбниц считали точки наименьшими из
существующих, но все же протяженными "тельцами". Разлагая кривую на бесконечно
большое коли-чество бесконечно малых частей, они приходили к пределу, который
считали отношением высоты к ширине геометрического "атома" - точки.
Сегодня атомистические представления отвергнуты математикой. И хотя
приведенное геометрическое истолкование широко практикуется в преподавании, уже
почти никто не объясняет ds/dt по Лейбницу - как отношение бесконечно
умаляющихся "дельта эс" и "дельта тэ". Ибо можно обойтись вообще без
геометрических построений. Можно просто исключить "дельта тэ" из знаменателя
путем чисто формальной процедуры. "Чисто формальной" - значит не прибегающей к
интуитивным представлениям. В нашем случае к зримым моделям - чертежам. Надо
сказать, что все графические построения геометрии опираются именно на интуицию,
на чувственный опыт. В том числе и наша картинка с трассой стрелы, с
треугольничком, с тангенсом угла наклона касательной, с Аполлоном, Пифоном и
прочими образами "живописного искусства" геометрии. (Куда завело Лейбница
чрезмерное доверие к подобным геометрическим аналогиям, мы уже знаем). Но в
том-то и дело, что математический анализ вовсе не обязан исходить из графических
построений! Оперируя собственным набором правил и символов, он в состоянии
формулировать свой выводы совершенно независимо от геометрии, хотя, впрочем,
многие утверждают, что без интуитивных представлений математике все равно не
обойтись. Как бы там ни было, графики играют лишь вспомогательную роль: они
наглядно истолковывают сложные понятия, а это всегда облегчает восприятие. К
сожалению, не все понятия доступны нашей интуиции. Формально описывать их мы
можем, а вот зримо вообразить себе - увы... Так ведь это-то противоречие и
подметил Зенон! Конечно, представить себе Диогена, дефилирующего перед носом
искусителя, - дело пустячное. Можно даже нарисовать траекторию этой
самоуверенной демонстрации здравого смысла - скорей всего она будет
прямолинейной, Увы, чересчур прямолинейной. Ибо нарисовать и обсчитать ее по
всем правилам формальных процедур мало. Элеаты ждали ответа на вопрос: как из
неуловимых моментов покоя складывается движение?.. А из непротяженных точек
протяженный отрезок - трасса той же стрелы? Дискретно или непрерывно
пространство? Как представить себе структуру подобных совокупностей точек?
Правда, нельзя отказать опровергателю Зенона в остроумии. Но и в наивности
тоже: неужто он всерьез полагал, будто молчали-вая апелляция к житейскому опыту
обезоружит элейских "нигилистов"? Она еще в древности считалась
неубедительной: дело-то шло о математической сущности движения, а не о его
физической видимости. Впрочем, только ли в древности?
"Движение есть сущность времени и пространства, - говорил Ленин. - Два
основных понятия выражают эту сущность: (бесконечная) непрерывность и
"пунктуальность" (= отрицание непрерывности, прерывность). Движение есть
единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и
пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий".
"Еще со времен Зенона и его парадоксов, - продолжают Р. Курант и Г.
Роббинс, - все попытки дать точную, математическую формулировку интуитивному
физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными.
Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности
значений а1, a2, a3... Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной
х, пробегающей целый интервал значе-ний на числовой оси, то описание того, как х
"приближается" к заданному значению X, затруднено тем, что принимаемые
значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их
возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и
не существует точки, "следующей" за данной. Остается неизбежное расхождение
между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для
того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах.
Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие".
Парадоксально, но факт налицо: понятие "дифференциал" и тесно связанное с
ним понятие "интеграл", взращенные на атомистической почве, противоречат всему
строю нынешней математики, пронизанной идеей непрерывности! Как же быть? Вот
прогноз профессора Лурье: "Несомненно, что в будущем математика, если она будет
построена на принципе непрерывного, либо откажется от этой почтенной реликвии и
научится обходиться исключительно лишь ясными и отчетливыми понятиями
производной, первообразной функции и предела суммы (эту попытку сделал еще
Лагранж), либо лучше приспособит отжившие понятия "дифференциал" и
"интеграл" к современным математическим взглядам, покончив с последними
следами атомистических "представлений".
Хотелось бы обратить внимание читателя на одну лишь мысль этого
интереснейшего пророчества: вместо бяки интеграла, этой "почтенной реликвии
атомистической эпохи", предлагается обойтись понятием предела суммы. Но так ли
уж оно отчетливо и ясно? И не Зенон ли первый подметил внутреннее противоречие,
присущее этому понятию?
"В последнее время, - утверждает профессор С. А. Богомолов в книге
"Актуальная бесконечность", - уточняя понятия анализа, мы удалились от
Ньютона. Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству
Зеноновых апорий, разве что слова "Ахилл не догонит черепаху" на современный
язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела". И далее:
"Знаменитые апории Зенона Элейского более 2000 лет привлекают к себе внимание
ученых и философов; все снова и снова стараются их опровергнуть... Пройти мимо
апорий Зенона, объявив их пустыми софизмами, было бы совершенно неправильно,
здесь элейская школа с необыкновенной силой и глубиной критиковала возможность
движения, а ведь понятие движения лежит в основе всей нашей техники...
Созданный Ньютоном современный анализ оказался могучим средством и для
теоретических и для практических приложений. Между тем аргументы Зенона против
основных понятий математики и механики, несмотря на многочисленные попытки их
опровергнуть, оставались неопровергнутыми.
Во второй половине XIX столетия, вообще подвергшего основы математики
тщательному пересмотру, появились работы немецкого ученого Георга Кантора.
Учение Кантора пролило новый свет на апории Зенона и объяснило в них то, что
вообще поддается объяснению. Но было бы поспешным утверждать, что оно опровергло
их до конца..." Теория множеств Кантора действительно заставила по-новому
взглянуть на каверзные апории Зенона. Она выявила качественное различие между
бесконечностями. В чем же оно, это различие? Нанесите на листок миллиметровки
две точки. Дистанция между ними, очевидно, конечна. Тем не менее ограниченный
ими отрезок прямой вмещает в себе бесконечность. И даже не одну.
Поставьте посередине между двумя точками третью. Точно так же поделите
надвое каждую из половинок, затем четвертушек, осьмушек и т. д. Все плотнее и
плотнее будут ложиться точки. Но вам так и не удастся превратить ваше многоточие
в сплошную линию, даже если бы вы каким-то чудом обрели вдруг бессмертие.
"татуирование" бумаги будет длиться вечно. Ибо ни одна из ваших точек-середин
не станет последней. Всегда можно сделать следующий шаг - поделить пополам
только что полученные отрезочки, сколь бы малы они ни были. Однако предположим,
что все бесчисленное множество наших точек-середин уже имеется "в наличии",
так что нам не нужно получать его бесконечным рядом шагов. Получилась вроде бы
сплошная линия, без пустых промежутков между точками. Тем не менее мы можем
продолжить "иглоукалывание", но уже иным способом: будем делить первоначальный
отрезок не пополам, а на три части, затем на девять частей, двадцать семь и так
далее. Мы получим новое бесконечное множество, причем для любой точки этого
нового множества найдется место на отрезке, не занятое точками прежнего
множества. Такой же результат получится и при делении отрезка на 5 частей, 25,
125 и так далее; на 7, 49 и т. д. Коротенький отрезочек, а способен вместить
сколько угодно таких бесконечных множеств! Пусть теперь нам удалось
"вытатуировать" на миллиметровке линию, составленную из всех без исключения
рациональных точек. Оно будет, как скажет математик, "всюду плотным". Иначе
говоря, на нашем отрезке не найдется такого места, где бы мы не встретили
какую-нибудь из точек нашего множества. И тем не менее рациональные точки не
покрывают всего отрезка целиком! Не верите? Давайте построим такой квадрат,
чтобы его диагональю служил наш отрезок, ограниченный двумя делениями
миллиметровки. Возьмем сторону квадрата и уложим ее на диагональ, совместив
левые концы отрезков. Тогда правый конец стороны квадрата опять-таки придется
аккурат на "вакантное" место! Перед нами иррациональная точка. И таких точек
на нашу диагональ можно "перенести" со стороны квадрата сколько угодно.
Например, середина стороны квадрата, середины обеих половинок, затем четырех
четвертушек и так далее - все это иррациональные точки. Совершенно очевидно, что
полученное таким путем множество будет бесконечно большим. Точки, полученные
делением стороны квадрата на три, на девять, двадцать семь долек и так далее,
тоже окажутся иррациональными и тоже дадут бесконечное множество. Аналогичная
процедура осуществима и с остатком диагонали, не прикрытым стороной квадрата. И
для любой точки каждого из этих новых бесконечных множеств найдется свое место
на отрезке. Место, не занятое рациональными точками! Это выглядит потрясающе:
ведь множество рациональных точек всюду плотно - и вдруг содержит "пустоты",
уготованные для иррациональных точек! Неспроста, знать, открытие иррациональных
точек, сделанное в глубокой древности, привело в замешательство античных
геометров.. И опять-таки никакая интуиция не поможет нам отличить соседние точки
- рациональную и иррациональную - или установить порядок их чередования.
Абстрактно мыслить, формально описывать подобное геометрическое сообщество
(континуум) мы можем, но представить в зримых образах... Математики уверяют, что
это вообще недоступно нашей интуиции. А ведь мы каждый день видим континуум!
Перекладинка типографской литеры на этой странице, траектория зеноновской
стрелы, маршрут Диогена - словом, любой конечный отрезок или бесконечная линия -
все это континуумы, непрерывные последовательности всех рациональных и
иррациональных точек, взятых в их неразрывной совокупности. И одно из
кардинальнейших свойств континуума - его несчетность. Это замечательное открытие
принадлежит Кантору. На первый взгляд, тут и открывать-то нечего: раз множество
бесконечно, то ясно, что его элементы (числа, точки) не перечтешь. Ан нет,
оказывается, есть и счетные множества, даром что бесконечные. Понятно,
определение "счетный" здесь до некоторой степени условно. Начав пересчитывать
элементы бесконечного множества, мы заранее обрекаем себя на неудачу - эта
процедура никогда не закончится. Пересчитать по элементам в буквальном смысле
можно лишь конечное множество (по крайней мере в принципе). Но что такое
"пересчитать"? Это значит сопоставить элементы какого-то множества числам
натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6... Именно так поступает педантичный
гардеробщик, выдавая по порядку номерки взамен верхней одежды, снимаемой
посетителями. При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между
номерами жетонов и шляпами (или плащами, галошами, портфелями и так далее).
Правда, последовательный пересчет не всегда удобен - даже в случае конечных
множеств, "Пойдем, например, на танцплощадку, - иллюстрирует эту мысль доктор
физико-математических наук Н. Я. Виленкин в своей брошюре "Рассказы о
множествах". - Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Конечно, можно
попросить юношей отойти в одну сторону, а девушек в другую и заняться подсчетом
как тех, так и других. Но нас не интересует, сколько здесь юношей и девушек, а
интересует лишь, поровну ли их. Попросим оркестр сыграть какой-нибудь танец.
Тогда юноши пригласят девушек, и наша задача будет решена. Ведь если вся
молодежь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на площадке ровно столько же
юношей, сколько и девушек".
Кантор решил таким же способом сравнить и бесконечные множества. Для этого
вовсе не обязательно пересчитывать их по элементам. Достаточно установить
взаимно однозначное соответствие между элементами обеих множеств. Так вот, все
бесконечные множества, элементам которых можно сопоставить числа натурального
ряда, называются счетными. Например, множество всех рациональных чисел (целых и
дробных). Теперь естественно ожидать, будто все без исключения бесконечные
множества счетны. Нет! Кантор с удивлением открыл и убедительно доказал, что
множество всех действительных чисел или точек (рациональных и иррациональных,
вместе взятых) неисчислимо. Оно несравнение богаче элементами (обладает большей
мощностью), нежели множество одних рациональных точек. Доказать, что множество
счетно, значит придумать правило, по которому нумеруются его элементы. Убедиться
же в несчетности того или иного множества - это значит, доказать, что такого
правила нет и не может быть вообще. Кантор рассуждал так. Допустим, нам удалось
найти способ, как перенумеровать все действительные числа, выписав их в виде
последовательности. Если теперь найдется хотя бы одно число, не входящее в эту
последовательность, значит гипотеза о возможности перенумеровать все
действительные числа несостоятельна. И Кантор продемонстрировал такое число! Да
не одно, а бесчисленное их множество. И какое бы правило нумерации мы ни
придумали, всегда найдется незанумерованный элемент этого множества. Вот какой
смысл вкладывается в слова "множество всех точек континуума неисчислимо", Вот
и получается, что у геометрического целого (линии) может появиться совершенно
новое качество, отсутствовавшее у его частей - непротяженных, не имеющих
размеров точек, когда мощность множества переходит определенный количественный
Рубикон. Вспомните линию, составленную из одних рациональных точек! Это
множество всюду плотно. Если мы прибегаем к чертежу, то нам и впрямь придется
рисовать сплошную линию - иначе не изобразишь множество всех рациональных точек.
Но нет, эта линия разрывна. И разрывна в каждой точке! Лишь континуум обладает
непрерывностью,. сплошностью. Этого, разумеется, не дано было знать Зенону, для
которого все точки-нули, равно как и все бесконечности, выглядели "на одно
лицо".
И все же, даже разобравшись в этих премудростях, математики XX века не
смогли окончательно отделаться от кошмара зеноновских противоречий, Канторова
теория множеств, которая, как считалось, обезвредила апории Зенона, сама
оказалась подорванной изнутри таившимися в ней противоречиями.
У английского писателя Лоуренса Стерна есть роман "Жизнь и мнения Тристрама
Шенди, джентльмена". Это весьма своеобычный роман. Повествование ведется от
первого лица, причем герою понадобилось целых двести пятьдесят страниц, чтобы
описать свое появление на свет. Лишь в третьей книге мать Шенди разрешается от
бремени Тристрамом, джентльменом, а в шестой маленький джентльмен впервые
удостаивается чести быть облаченным в штаны.
О странном литературном персонаже вспоминает не кто иной, как Бертран
Рассел. Предположим, говорит английский ученый, какой-нибудь новоявленный
Тристрам Шенди будет затрачивать по году на описание каждого дня своей жизни.
Сумеет ли он накропать мемуары? Не сумеет, это ясно: человек смертей. А если бы
Тристрам Шенди стал вдруг бессмертным? Что тогда? Тогда каждый день найдет свое
отражение в его необычной летописи. Другое дело - странное жизнеописание никогда
не закончится. Но каждому дню найдется соответствующий год, причем количество
дней и количество годов в их нескончаемой череде равны, вернее, равномощны. Это
бесконечности одного класса. Точно так же последовательность всех четных чисел
равномощна натуральному ряду, включающему и четные и нечетные числа: 1, 2, 3, 4,
5, 6 и так далее. А натуральный ряд равномощен множеству всех рациональных
чисел. Как видно, правило "целое не равно своей части" утрачивает силу в
странном мире бесконечного. А вот и другой вывод, еще пуще насмехающийся над
немощью человеческой интуиции. Мы уже выяснили: континуум (совокупность всех без
исключения точек отрезка) обладает гораздо большей мощностью, нежели редко
стоящие на числовой оси метки натурального ряда или даже множество всех
рациональных точек, плотное везде. Тем не менее совершенно неожиданным и
поистине ошеломляющим выглядит такой Канторов итог: один ли ангстрем, один ли
световой год содержат одинаковое "количество" (речь идет о бесконечном
множестве) точек. Уму непостижимо, но бесконечная прямая вмещает не больше
точек, чем конечный отрезок! И еще один сюрприз: трехмерная фигура (скажем, куб)
не богаче точками, чем двумерная (квадрат), а двумерная поверхность - чем просто
линия. Целых три года (с 1871 по 1874) Кантор пытался доказать, что взаимно
однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата невозможно.
Мучительные поиски долго оставались безуспешными. И вдруг совершенно неожиданно
для себя ученый пришел к совершенно противоположному результату! Он проделал то
самое построение, которое считал неосуществимым. Потрясенный своим открытием, он
написал математику Дедекинду: "Я вижу это, но не верю этому". А вскоре
убедился, что не только квадрат, но и куб равномощен линии...
Этого не знал Зенон. Ньютон тоже. Но это со всей непреложностью доказал
Георг Кантор - человек, впервые отважившийся объять необъятное, сосчитать
неисчислимое, измерить неизмеримое. Он проник с числом и мерой в таинственный и
странный мир, над входом в который красуется кабалистический символ
бесконечности. И который исстари вселял в души человеческие мистический хоррор
инфйнити - ужас перед бесконечным. Беспрецедетное арифметическое беззаконие
потрясло математиков. Но это было еще только началом. Теория множеств Кантора
оказалась чреватой куда более серьезными парадоксами.
На рубеже XIX и XX столетий выяснилось, что логические рассуждения, которыми
оперировал Кантор, ведут к неразрешимым противоречиям. Первый нокаут
канторовские построения получили от итальянского ученого Бурали-Форти,
сформулировавшего парадокс наибольшего порядкового числа. Однако настоящей
сенсацией оказалась знаменитая антиномия Рассела, опубликованная в 1903 году и
получившая широкую известность под названием "парадокса брадобрея".
Солдату приказали стать полковым цирюльником. Приказ строжайше предписывал
брить тех и только тех, кто не бреется сам. За невыполнение - смертная казнь.
Солдат исправно нес нехитрую службу парикмахера ровно один день. На следующее
утро, проведя ладонью по подбородку, он взялся за лезвие и кисточку, чтобы
придать своим щекам былой глянец, но... вовремя спохватился. Начни он скоблить
собственную щетину, быть ему в числе тех, кто бреется сам. И тогда он в
соответствии с грозным распоряжением начальства не должен себя брить. Если же он
откажется себя брить, то станет одним из тех, кто сам не бреется и кого как раз
онто и обязан брить! Как же поступить бедняге брадобрею?!
Разумеется, перед нами шутливое иносказание настящего парадокса. На самом
деле формулировка его более строга. Существуют множества, которые могут
содержать сами себя в качестве элемента. Назовем их необыкновенными. Вчитайтесь,
к примеру, в такое определение: "Множество А включает в себя все множества,
которые можно определить предложением, содержащим меньше двадцати слов". Только
что приведенная фраза содержит всего 15 слов. Значит, само множество А тоже
является элементом множества А! Разумеется, перед нами курьезное исключение.
Большинство совокупностей обыкновенны - не содержат себя в качестве элемента.
Давайте пока ограничимся только такими пай-множествами, которые вроде бы не
сулят никакого подвоха. И рассмотрим множество всех обыкновенных множеств.
Обозначим его буквой М. Предлагается ответить: само М - обыкновенное или
необыкновенное? Бесспорно, оно должно быть либо тем, либо другим - третьего не
дано. Допустим, что М - обыкновенное множество. Тогда оно должно содержать себя
в качестве элемента: ведь М, по определению, множество всех до единого
обыкновенных множеств) Но если оно включает самое себя, значит, перед нами
необыкновенное множество! Ладно, пусть будет таковым. Стоп... Что же получилось:
необыкновенное М входит в множество всех обыкновенных множеств? Но ведь мы же
договорились вообще не иметь дела с необыкновенными множествами! М, по
определению, не имеет права входить в множество всех и одних только обыкновенных
множеств! А уж если оно угодило туда, пусть изволит стать обыкновенным. Остается
одно: объявить множество М обыкновенным и... начать сызнова "сказку про белого
бычка". Как видно, в отличие от своего севильского коллеги из бессмертной
трилогии "Бомарше" Фигаро лорда Рассела занялся интригами на более высоком
уровне - в области логики и математики. Парадоксы теории множеств заставили
математику ревизовать свои логические устои.
Как известно, ахиллесовой пятой канторовской теории множеств был ее
неконструктивный характер. Кантору ставили в упрек, что он прибегал к
доказательству от противного. Он обосновывал истинность фундаментальнейших
выводов своей теории не прямо, а косвенно - демонстрируя абсурдность
противоположного утверждения. До поры до времени это казалось убедительным. В
самом деле, если одно из двух взаимоисключающих предложений ложно, то другое
обязательно должно быть истинным. По крайней мере так гласил закон исключенного
третьего. Прием редукцно ад абсурдум (приведение к нелепости) широко
практиковался в математике со времен Евклида. Но ведь у Рассела в его парадоксе
с брадобреем та же логическая процедура, проверенная тысячелетиями, дала осечку!
Так почему же, спрашивается, она не могла подвести и Кантора? Неужто и впрямь...
"движенья нет"? Во всяком случае, в логике опровергателей Зенона,
апеллировавших к построениям Кантора...
Но, быть может, противоречия были порождены чересчур вольной трактовкой
понятия "множество"? А если более строго сформулировать требования к смыслу
каждого термина, к каждой логической процедуре? И даже попытаться, если удастся,
построить "конструктивную" логику, где не будет закона исключенного третьего и
доказательств от противного?
Именно такую задачу поставили перед собой математики XX века. А австрийский
математик Курт Гёдель намеревался построить исчерпывающую и непротиворечивую
теорию чисел (она имеет отношение и к парадоксам Зенона. ведь любое число можно
изобразить точкой на отрезке и наоборот - любой точке сопоставить число). Вы
думаете, ему это удалось? Как бы не так! Напротив, в 1931 году он доказал
теорему: в любой достаточно полной логической системе можно сформулировать
предложение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть логическими
средствами этой системы! А непротиворечивость любой системы нельзя доказать
средствами этой системы...
Теорема Гёделя легла в основу целого направления в математике и логике. Сама
математическая теория, непротиворечивость которой пытаются обосновать, стала
предметом изучения особой "надматематической" науки, названной
метаматематикой, или теорией доказательств. Какова природа истины? На каких
посылках зиждется сам фундамент математики? Какой смысл имеют математические
предложения: аксиомы, леммы, теоремы? Какую логическую структуру должны иметь
доказательства? Так попытки разрешить парадоксы столкнулись с более широкой
проблемой обоснования математики и логики.
Загляните в книгу С. К. Клини "Введение в метаматематику". Поначалу она
наверняка отпугнет вас умопомрачительной абракадаброй символов, а потом...
Потом, глядишь, и притянет - скорей всего удивительным лаконизмом, элегантной
строгостью, а если разобраться, то и простотой своеобычного языка знаков. Языка,
которым описываются самые замысловатые умозаключения. В том числе и комичные
логические нелепицы наподобие той, что возникла в эпизоде с "сеньором
губернатором" Санчо Пансой. Странное, парадоксальное сочетание, не правда ли?
Полнокровная проза Сервантеса и анемичные иероглифы математической
"стенографии" - ведь это на первый взгляд две вещи столь же несовместные, как
гений и злодейство! Ну как втиснуть живую человеческую речь, да не просто речь,
а рассуждения, в прокрустово ложе математических формул?"
"Когда я, будучи мальчиком, знакомился с предложениями обычной логики и мне
еще была незнакома математика, у меня возникла, не знаю, по какому наитию, мысль
о том, что можно изобрести такой анализ понятий, с помощью которого истины можно
будет комбинировать и высчитывать как числа". Так на закате жизни делился
своими неосуществленными мечтами блестящий дипломат и гениальный математик
Готфрид Вильгельм Лейбниц. Он, как никто другой, остро чувствовал изъяны
классической логики. Сведенная в систему еще Аристотелем, она с тех пор на
протяжении двадцати веков оставалась неизменной. Но значило ли это, что ее
нельзя усовершенствовать?
Великий немецкий реформатор считал, что наши знания можно разложить на
простые элементы. Обозначенные особыми символами, , они составят алфавит
человеческих мыслей. Спрашивается, зачем? "Споры не придут к концу, ежели не
отказаться от словесных рассуждении в пользу простого исчисления, - объяснял
Лейбниц, - ежели не заменить слова неясного и неопределенного смысла
однозначными символами. После введения оных двум философам, буде возникнет между
ними препирательство, уже не надобно стараться перекричать друг друга. Спорщикам
не потребуется ничего иного, кроме как взять в руки перья, сесть, подобно
бухгалтерам, за свои конторки и сказать: давайте-ка вычислять!" Лишь через
полтораста лет началось осуществление идей Лейбница. В 1847 году ирландский
ученый Джордж Буль печатает "Математический анализ логики", где впервые
излагает исчисление высказываний - так называемую алгебру логики. "Тот, кто
знаком с современной алгеброй, - замечает автор, - знает, что правильность
аналитической процедуры не зависит от истолкования символов. -Поэтому один и тот
же прием может дать при одном истолковании решение проблемы теории чисел, при
другом - решение проблемы геометрии, при третьем - решение проблемы динамики или
оптики и так далее". В булевой алгебре буквами обозначаются высказывания,
причем самые громоздкие и запутанные логические построения сводятся к простым
арифметическим действиям.
Вторжение формул и уравнений имело для логики столь же решающее значение,
как и появление буквенных обозначений для математики. Архимед, Евклид, Диофант и
другие титаны античной математики не пользовались языком формул. Нет, не потому,
что не хотели. Они его не знали. И излагали свои мысли в словах и рисунках.
Геометр перед геометром изображал палочкой на песке квадрат. Потом проводил
внутри него крест-накрест две черты, отсекавшие от квадрата по равной
продолговатой краюхе справа и снизу. Пересекаясь, линии образовали в правом
нижнем углу маленький квадратик. И любой, кто смотрел на рисунок, - грек ли,
римл |
